６． EXCELによる主成分分析例題
新聞１０紙について、記事の内容をニュース・ビジネス・スポーツについてその充実度を１０点評価で調査した。その結果が下の表である。
|
ＮＯ |
ニュース |
ビジネス |
スポーツ |
|
Ｘ1 |
Ｘ2 |
Ｘ3 |
|
|
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ |
８ ２ ８ ３ ７ ４ ３ ６ ５ ６ |
９ ５ ５ ５ ４ ３ ６ ８ ４ ７ |
４ ７ ６ ４ ９ ４ ８ ２ ５ ６ |
大変充実している…１０ 充実していない…０
以上の１０紙について、その紙面の充実度を評価するために主成分分析を実施する。
分析に先立って上のデータを入力しておく。
６．１ 相関係数行列を用いて分析を実施する。
6.1 主成分を求める。
6.1.1 固有値・主成分負荷量を求める
相関係数行列を求める
2変量間の相関係数を求める関数は、＝CORREL(範囲1、範囲2)である。
この関数を使用して変量X1－X2、X1－X3、X2－X3間の相関係数を求める。
相関係数行列は、
固有値：λ 固有値λに属する固有ベクトル：ａ1・ａ2・ａ3 とする。
これより、３つの固有値 λ1=1.571
λ2=0.903 λ3=0.527 が求められる。
②固有ベクトルを求める
固有値 λ1=1.571の時
これより固有ベクトルは ａ1＝0.531 ａ2＝0.673 ａ3＝－0.514
固有値 λ2＝0.903 のとき
固有ベクトルは ａ1＝0.689 ａ2＝0.0095
ａ3＝0.724
主成分負荷量は 0.655 0.009 0.688
固有値 λ3＝0.527 のとき
固有ベクトルは ａ1＝－0.492 ａ2＝0.738
ａ3＝0.459
主成分負荷量は －0.357
0.536 0.333
以上をまとめると
|
固有値 |
第１主成分 1.571 |
第２主成分 0.903 |
第３主成分 0.527 |
|
固有ベクトル |
0.531 0.673 -0.514 |
0.689 0.0095 0.724 |
－0.492 0.738 0.459 |
|
主成分負荷量 |
0.665 0.844 -0.644 |
0.655 0.009 0.688 |
－0.357 0.536 0.333 |
６．２ べき乗法から固有値・固有ベクトルを求める。
相関係数行列から、次式を満足するような固有値ならびに固有ベクトルを求めることは、大変である。そこで、べき乗法を用いて固有値と固有ベクトルを求める。
べき乗法とは、相関係数行列をＡとするとき、成分がすべて１のＸ行列を考える。
この求められた行列で最大の成分を1に変換する
続けて、Ａ･Ｘ1を計算する。
この求められた行列で最大の成分を1に変換する
続けて、同様にしてＡ･Ｘ2を計算する。
この作業を繰り返し実施し、求められた行列の成分で、最大の値のものが1つ前に比べ10-5程度までの差となったら、終了する。この時最大の成分が1番目の固有値となる、またその時のＸ成分を標準化すると、1番目の固有値に属する固有ベクトルが求められる。
求められた行列で最大の成分の値は、上の表では分からないが、実施計算していくと、1.57056－1.157055＝0.00001 となり、A･X13で収束しそうである。
この時の最大の成分は1.57056であり、これが1番目の固有値である。
2番目以降の固有値を求めるには、A1＝A－λ１a1a1’
として再度最初からべき乗法を繰り返す。
A1＝A－λ１a1a1’により新しいA1を求める。
この新しいA1を使用して再度べき乗法を実施し2番目の固有値・固有ベクトルを求める。
3番目の固有値・固有ベクトルも同様にして求める。
６．３ 主成分負荷量のプロットを見る。
横軸に第１主成分、縦軸に第２主成分をとり、主成分負荷量をグラフに描いてみる。
主成分負荷量は、主成分と各変量の間の相関係数に一致し、主成分負荷量が１に近いほどその変量と主成分の関係が深いことを示しているので、各変量の主成分負荷量をみていく。
第１主成分の主成分負荷量は、ニュース：0.665
ビジネス：0.844 と同程度に大きく、スポーツは負（－）となっている。このことから、第１主成分はニュースとビジネス関係を中心に主成分負荷量が大きく、スポーツ関係の負荷量は低いので、専門紙志向度を計る尺度と考え専門誌志向度と名付ける。第２主成分の主成分負荷量は、ニュース：0.655 スポーツ：0.688 と同程度に大きいが、ビジネス：0.009 となっている。このことから第２主成分は大衆紙志向度を計る尺度と考え大衆紙志向度と名付ける。
また、第１主成分・第２主成分・第３主成分のそれぞれの固有値・累積寄与率（％）をみると、
固有値が１以上または累積寄与率が６０％以上のものを採用するとすると、第２主成分まで採用するようにする。
６．４ 主成分得点を求める。
6.4.1 第1主成分得点を求める。
この式を用いて、第１主成分得点を求める。
X1～X3の説明変量に標準化した値を用いて主成分得点を求める。この時主成分得点の有値が一致していることが分かる。求めた主成分得点をさらに標準化した値を求める。
6.4.2 第2主成分得点を求める。
この式を用いて、第２主成分得点を求める。
|
NO |
主成分得点 |
標準化 |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
0.424 －0.545 1.123 －1.286 1.859 －0.959 0.158 1.957 －0.256 0.458 |
0.447 －0.573 1.182 －1.354 －0.976 －1.010 0.167 －1.028 －0.269 0.482 |
|
平均 |
0.000 |
0.000 |
|
分散 |
0.903 |
1.000 |
|
STD |
0.950 |
1.000 |
第３主成分についても、第３主成分の固有ベクトルを用いて、同様に計算して求める。
第１主成分得点・第２主成分得点・第３主成分得点のそれぞれお互いの相関係数を求めると、いずれも０となり無相関であることがわかる。お互いに独立であることがわかる。
第１主成分の固有値：1.571 第２主成分の固有値：0.903 第３主成分の固有値：0.527 これは、第１主成分得点の分散、第２主成分得点の分散、第３主成分得点の分散に一致していることがわかる。分散の大きいデータ群ほど説明力が大きいのでより重要なデータである。固有値の大きいほど重要なデータであるといえる。
第１主成分得点から、専門誌志向度が一番高いのはＮＯ１紙であり次にＮＯ８紙であり、一番小さいのはＮＯ２紙であることがわかる。次に第２主成分得点から大衆紙志向度が一番大きいのはＮＯ５紙であり、一番小さいのはＮＯ４紙であることがわかる。
６．５ 分散・共分散行列を用いる方法
6.5.1 主成分を求める。
（１）分散･共分散を求める
分散を求める関数は、＝VARPA(範囲)である。また共分散を求める関数は、＝COVAR(範囲1、範囲2)である。この2つの関数を使用して分散・共分散を求める。
（２）固有値・主成分負荷量を求める
分散・共分散行列は
これより、３つの固有値 λ1=5.8731
λ2=3.7023 λ3=1.8746 が求められる。
（３）固有ベクトルを求める
固有値 λ1 = 5.8731の時
これより固有ベクトルは ａ1＝0.598 ａ2＝0.582 ａ3＝－0.548
以下同様にして
固有値λ2＝3.7023のときの固有ベクトル ａ1＝ 0.683 ａ2＝－0.0148 ａ3＝0.7305
固有値λ3＝1.8746のときの固有ベクトル ａ1＝－0.419 ａ2＝ 0.812
ａ3＝0.408
以上をまとめると
|
固有値 |
第１主成分 5.8731 |
第２主成分 3.7023 |
第３主成分 1.8746 |
|
固有ベクトル |
0.5986 0.5843 －0.548 |
0.683 －0.0148
0.7303 |
－0.4185 0.8114 0.4079 |
6.5.2 主成分得点を求める。
（１） 第１主成分得点を求める式は、
この式を用いて、第１主成分得点を求める。
求められた主成分得点をさらに標準化し、平均：０ 分散：１ とする。
（２）第２主成分得点を求める。
この式を用いて、第２主成分得点を求る。
第３主成分を求める式は
この式を用いて、第３主成分得点を求める。
第１主成分得点から、専門紙志向度が一番高いのはＮＯ１紙で次にＮＯ８紙であり、一番小さいのはＮＯ２紙であることがわかる。次に第２主成分得点から大衆紙志向度が一番大きいのは、ＮＯ５紙であり、一番小さいのはＮＯ４紙であることがわかる。
主成分得点を求めるのに、相関係数行列から出発し求める方法と、分散共分散行列から出発して求める方法と２通り実行したが、相関係数行列から出発して求めた主成分得点と分散共分散行列から出発して求めた主成分得点の順位は必ずしも一致しない。今回の例では、３変量の単位が同じであるので、通常分散共分散行列から主成分得点を求める。